一笔画在线玩

一笔画网页版，打开就画，手机电脑都能玩。笔不离纸、每条线只走一次、把整张图形画完，这就是数学上的欧拉路径。内置 60 关，从 5 条线一路递增到 24 条线，每一关都是按关号固定生成的，同一关任何时候打开都是同一张图，并且保证一定画得出来。点一个圆点起笔，再点相邻的圆点连线，也可以按住一路拖过去；走进死胡同会自动退回一步，撤销不限次数，「提示」没落笔时用金圈标出该起笔的奇数点，画到一半会标出下一笔，走进死路会告诉你退回到第几笔。每关记下你的最快秒数，另有不记纪录的随机关。

规则

一笔画的规则只有一句：笔不离纸，每条线正好走一次，把整张图形画完。

说得更细一点：图形由若干圆点和连接它们的线段组成；你从任意一个圆点落笔，沿着线段走到相邻的圆点，走过的线段就算画过了，不能再画第二遍；圆点可以反复经过，线段不行。所有线段都变成橙色，这一关就完成了。这就是大家习惯叫的一笔画小游戏，在数学上它有个正经名字，叫欧拉路径。

本站这个版本的具体设置：

• 60 关，按线段数从 5 条一路递增到 24 条。第 1 关只有五条线，最后一关二十四条线、十几个圆点，够绕一阵子。
• 关卡固定、不随机。每一关按关号播种生成，同一关任何时候打开都是同一张图，换台设备也一样，所以秒数可以横着比。
• 每一关都保证画得出来。生成的办法是反着来的：先在点阵上随机走一条「不重复走同一条线」的路线，再把这条路线经过的线段当成题目。这样得到的图形必然连通、奇数点必然是 0 个或 2 个，而那条路线本身就是一个答案。
• 线不交叉。点阵里每个方格最多只放一条对角线，所以画面上两条线不会在半路上交叉出一个假的交点，你看到的每个圆点都是真的岔路口。
• 操作：点一个圆点起笔，再点相邻的圆点连线；也可以按住鼠标或手指一路拖过去，笔尖会跟着你经过的点往前连。
• 画错不生效：点到跟笔尖之间没有剩余线段的点，这一步直接作废，图上什么都不变。
• 走死自动退回：还有线没画完、笔尖却一步也走不动了，画面停半秒让你看清，然后自动退回一步。
• 撤销不限次数：顶栏「撤销」或键盘 Z／Backspace，一步步往回擦，能一直退到还没落笔。
• 提示：顶栏「提示」或键盘 H，还没落笔时用金圈标出该起笔的奇数点（这一关全是偶数点就告诉你从哪起笔都行）；画到一半再按，会用金圈和金色虚线标出下一笔该连哪个点；要是已经走进死路（笔尖还能动、但剩下的线已经画不完），它会告诉你退回到第几笔，把该擦掉的几笔描成金色。每按一次管一步。
• 计时与纪录：从点下第一个圆点开始计秒，每关分别记下你的最快秒数，纪录区同时显示「已画出 X / 60 关」。
• 随机关：顶栏「随机关」或键盘 N，现生成一张 8 到 20 条线的新图，不计入纪录，纯练手用。

顶栏的「线条」显示当前进度（已画／总数），「重画」把这一关擦干净从头来，随机关按「重画」擦的还是同一张图。

技巧

一、先数奇数点，从奇数点起笔。 这是一笔画唯一真正有用的定理：连着奇数条线的点叫奇数点，一张能一笔画的图里奇数点要么 0 个、要么 2 个。有两个奇数点时，起笔和收笔必须分别落在这两个点上，从别处起笔一定画不完。落笔前花三秒钟，眼睛扫一遍哪个点连着三条线、五条线，答案就在那儿。实在懒得数，按「提示」直接看。

二、死胡同留给起笔或收笔。 只连着一条线的点是最典型的奇数点，也是最容易把人坑死的地方——中途走进去就出不来了。看到图上有伸出去的短尾巴，第一反应应该是「这是起点或终点」，而不是顺路捎带上。

三、桥最后走。 如果一条线是两片区域之间唯一的通道（图论里叫「桥」），过了桥就回不来了。所以先在桥这一侧把所有线都画完，最后再过桥，过去之后再收拾另一侧。这条规则有个正式名字叫 Fleury 算法，一句话概括就是：除非没有别的路可走，否则不要走桥。

四、把图看成几个环。 线多的关别一根一根盯着看。先找出图里明显的封闭环——三角形、四边形、来回绕一圈能回到原地的部分。只要能从某个环上再岔出一个环，就把第一个环走到岔口、拐进第二个环绕一圈、回到岔口再接着走原来的环。环套环，任意顺序都能拼进去，这正是求解一笔画的标准算法（Hierholzer）的思路。

五、连着很多线的点是枢纽，不用怕它。 度数高的点会被反复经过，每来一次就用掉两条线（进来一条、出去一条）。所以看到一个点连着四条线，不要想「怎么才能一次走完」，而应该想「我要来这儿两次」。

六、连着走死两次，说明错在更早的地方。 自动退回只退一步，只够纠正最后一次拐错弯。如果退回来换个方向又走死，问题多半出在三五步之前——那时候你可能过早地过了桥，或者顺手把某个环的最后一条线提前画了。这时候果断多按几下撤销，退到岔路口重来，比在原地试快得多。

七、拖比点快。 刷秒数的时候别一下一下点。手指按住不放，顺着线一路划过去，笔尖会跟着相邻的点连过去，二十四条线十秒钟就能划完。前提是你已经知道怎么走。

八、第二遍才是刷纪录。 第一遍能画完就算赢，别管时间。一笔画的纪录不靠手速，靠的是你记不记得这张图该从哪儿起笔、哪个环先绕——记住了，同一关再来一次能快好几倍。

常见问题

怎么一眼判断一个图形能不能一笔画？

两步。第一步看连通：整张图必须连成一片，分成互不相连的两块就一定不行。第二步数奇数点：数每个点连着几条线，连奇数条的就是奇数点。奇数点是 0 个，从任意点起笔都能画完，而且一定回到起点；奇数点是 2 个，必须从一个奇数点起笔、在另一个奇数点收笔；其余情况一律画不出来。另外奇数点的个数永远是偶数，因为每条线给两个端点各贡献一个度，所有点的度数之和一定是偶数——所以你永远不会数出 1 个或 3 个奇数点，数出来了就是数错了。

「田」字为什么画不成一笔？

把「田」字看成图：四个角各连两条线，四条边的中点各连三条线，正中心连四条线。奇数点有四个（就是四条边的中点），超过 2 个，所以画不出来。同样的道理，「日」字只有上下两条横的中点是奇数点，正好 2 个，可以一笔画；经典的「信封」图形（长方形加上两条对角线和顶上一个三角）奇数点也正好两个，从底下两个角起笔就能画完。

起笔点选错了会怎样？

不会立刻报错，但你一定画不完——走到某一步就会发现还剩几条线，笔尖却动不了了。本站碰到这种情况会自动退回一步，你可以一直撤销回开头换个点重来。想省事就先按一下「提示」，金圈标的就是合法的起笔点；画到一半觉得不对劲，也可以按「提示」，它会告诉你是不是已经走进死路、该退回到第几笔。

为什么有的关任意点都能起笔？

因为那一关一个奇数点都没有，每个点都连着偶数条线。这种图叫欧拉回路：从哪起笔都能画完，而且收笔一定回到起点。本站生成关卡时不强求两个奇数点，所以偶尔会遇到这种「首尾相接」的图，「提示」会明确告诉你这一关从哪起笔都行。

随机关为什么不记纪录？

因为每次都是一张新图，秒数之间没有可比性，存下来也没意义。60 个固定关卡是同一张图反复刷，秒数才比得出快慢。想认真挑战就打固定关，随手玩两把就用随机关。

和推箱子、迷宫这些有什么不一样？

推箱子和迷宫难在「路线的顺序」，走错了往往要退很多步；一笔画难在落笔之前的判断——只要起笔点选对、桥留到最后，剩下的常常顺着就走完了。七巧板是把整体切开的想象力，一笔画是把整体串起来的顺序感，两者刚好相反。喜欢这种「靠规则推理」的，还可以看看数织。

历史与冷知识

• 一笔画这件事是图论的起点。1736 年，欧拉（Leonhard Euler）写下那篇讨论「柯尼斯堡七桥」的论文，第一次把一个和距离、角度都无关的问题抽象成点和线，数学史上从此多了一整个分支。
• 七桥问题的原题是这样的：普鲁士的柯尼斯堡城（今天俄罗斯的加里宁格勒）被普雷格尔河分成四块陆地，七座桥把它们连起来，市民想知道能不能一次走遍七座桥、每座桥只过一次。欧拉证明不能——四块陆地连着的桥数分别是 3、3、3、5，全是奇数，奇数点有四个，超过了 2 个。
• 有意思的是，今天的柯尼斯堡七桥已经能一笔走完了。二战中有两座桥被炸毁，战后的重建改变了几处连接，现存的桥使得奇数点降到了两个——只是这份「解答」靠的是炸弹和市政规划，不是数学。
• 欧拉的论文里其实没有画任何一张点线图。今天课本上那张「四个点七条边」的示意图是后人补的，欧拉本人是用一串字母（陆地的编号）来论证的。
• 与一笔画配套的还有一个中国人提出的问题：中国邮递员问题。1962 年，中国数学家管梅谷提出「邮递员要走遍所有街道再回到邮局，重复的路最少是多少」，这正是一笔画画不出来时的退而求其次——奇数点多于两个时，至少要重复走多少条线。这个问题后来在英文文献里就叫 Chinese Postman Problem。
• 判断一张图能不能一笔画，计算机只要扫一遍所有边、数一数度数就行，快得几乎不花时间；但换成「能不能不重复地经过每个点恰好一次」（哈密顿路径），至今没有人找到快速的通用办法，它是著名的 NP 完全问题之一。一字之差，难度天壤之别，这也是图论里最经典的一组对照。
• 民间流传的一笔画图形里，「信封」「五角星」「田」字是出现频率最高的三个。五角星（只画五条直线构成的那个星形）每个交点都连着四条线，一个奇数点都没有，所以从任意点起笔都能画完并回到原处——很多人小时候都无意间验证过这条定理。
• 一笔画还悄悄进了工程：机械臂切割钢板、绘图仪落笔、快递车规划送货路线，本质上都在问同一个问题——怎样少抬笔、少空跑。欧拉当年回答的那个「散步能不能不走回头路」，两百多年后成了物流调度里的标准工具。