汉诺塔在线玩

汉诺塔在线就能玩的网页版，打开页面直接开局。三根柱子，圆盘 3 片到 10 片自由选，一次只能搬一片、大盘不能压在小盘上，把所有盘从左柱整体搬到右柱就算完成。页面实时显示已走步数与这一档的最少步数 2^n−1，正好用最少步搬完会标为完美。撤销次数不限；卡住了还有演示解法按钮，按递归解自动播放，分慢中快三档。各档片数的最快秒数分别记在本机浏览器。电脑和手机一样，点一根柱子取起顶端的盘，再点想放的柱子。

规则

汉诺塔的目标一句话说完：把左柱上那一摞盘子，整体搬到右柱去。

开局固定：三根柱子并排，所有圆盘按从大到小叠在最左边那根柱子上，中柱和右柱都是空的。只有两条规则，两条都不能破：

1. 一次只能搬一片，而且只能搬某根柱子最顶上那一片。埋在下面的盘子动不了，得先把压在它上面的搬走。
2. 大盘永远不能压在小盘上面。小压大可以，空柱子随便放，大压小不行。

搬到右柱上凑齐全部盘子才算完成，堆在中柱上不算。

本站版本的具体设置：

• 片数 3 到 10 片可选，顶栏第一个下拉切换，换片数就是重开一局。玩过的档位会在下拉里打勾。
• 顶栏一直显示三个数：已走步数、这一档的最少步数、用时。最少步数的算法是 2 的 n 次方减 1，所以 3 片 7 步，10 片 1023 步。
• 正好用最少步搬完，结算时会标成完美。完美只是当场的标记，不单独存起来。
• 撤销次数不限，一直能退回开局；退回去的那一步就不算走过。
• 计时从你落下第一片开始，搬完那一刻停表。各档片数的最快秒数分别记在本机浏览器，顶栏登录之后可以跨设备同步。
• 演示解法按钮：点下去先把盘面复位，再按递归解一步步自动播放，速度分慢、中、快三档，播放中再点一次就停。这一局用过演示就不记纪录，也不计入局数统计。
• 只做经典三柱版本，没有四柱、限时或关卡模式。

操作是同一个动作重复：点一根柱子取起它顶端的盘，再点想放的柱子。取起的那片会浮在柱子上方，点回原柱就是放弃；放不下去会提示目标柱顶端是几号盘，这一下不算步数。也可以直接从一根柱拖到另一根柱。画布下方还有左柱、中柱、右柱三个按钮。

电脑上还有一套键盘操作：左右方向键选柱，空格取放，数字键 1、2、3 直接选柱，Z 或 Backspace 撤销，R 重开本局。

技巧

规则十秒钟能学会，难的是片数一多就乱。下面几条是从「会搬」到「一步不多」的全部门道。

一、先想明白递归那一层，这是整个游戏的钥匙。 别盯着一片一片怎么动，改成问一个问题：要把 n 片从左柱搬到右柱，最大那片什么时候能动？ 答案是等它上面的 n−1 片全挪到中柱、右柱空着的时候。于是整件事拆成三步：先把上面 n−1 片搬到中柱，再把最大那片一步搬到右柱，最后把中柱那 n−1 片搬过来。两头那两步是同一个问题的小一号版本，接着往下拆到只剩一片为止。想通这层，10 片和 3 片是同一道题。

二、步数为什么正好翻倍加一。 按上面的拆法，搬 n 片的次数等于搬 n−1 片的两倍再加一次，从 1 片 1 步一路推下去就得到 2 的 n 次方减 1：1、3、7、15、31、63、127、255、511、1023。这还是个证明过的下界——最大那片至少要动一次，动它之前又必须把上面 n−1 片整体挪开，所以谁也快不过它。页面上的「最少」就是这个数。

三、第一步往哪放，由片数的奇偶决定。 这是最实用的一条。片数是奇数时，第一步把最小的那片放到右柱；片数是偶数时，放到中柱。 放反了必定多绕一大圈。道理还是递归：奇数片时最上面那片最终落在右柱那一摞顶上，偶数片时它这一轮的归宿是中柱。记不住就切到 3 片试两遍。

四、三柱循环法：不用想也能走出最少步。 还有一种机械做法，完全不需要在脑子里递归，走出来的照样是最优解：

• 单数步永远搬最小的那片，并且按固定方向绕圈。片数是奇数时循环方向是左柱 → 右柱 → 中柱 → 左柱；片数是偶数时反过来，左柱 → 中柱 → 右柱 → 左柱。
• 双数步不许碰最小的那片。此时盘面上不动最小盘的合法搬法有且只有一种，找出来照做就行，根本不用选。

两种步子交替，走满 2 的 n 次方减 1 步就结束。10 片 1023 步全靠这条规律，可以一边聊天一边搬完。

五、卡住的时候，先撤销而不是硬凑。 新手最常见的毛病是走到一半发现某片盘被自己压死了，接着一片一片乱试，步数翻着番涨。撤销不限次，倒回到把小盘压错柱子的那一步重来，比在错误局面上找补划算得多。

六、想刷秒数，先把动作练顺。 纪录记的是秒数不是步数，熟练度比聪明更值钱。先在 3 片、4 片上各刷几遍完美，把奇偶开局和循环方向变成手感，再一档一档往上加。想看标准解就用慢速演示走几步，那一局不留纪录，看完重开再正式搬。

常见问题

汉诺塔怎么玩？

三根柱子，开局所有圆盘按从大到小叠在左柱上，目标是整体搬到右柱。规则只有两条：一次只能搬一片、且只能搬每根柱子最顶上那片；大盘任何时候都不能压在小盘上。本站点一下有盘的柱子就取起顶端那片，再点想放的柱子，放不下去会提示原因，不算步数。

汉诺塔最少要走多少步？

n 片的最少步数是 2 的 n 次方减 1：3 片 7 步、4 片 15 步、5 片 31 步、6 片 63 步、7 片 127 步、8 片 255 步、9 片 511 步、10 片 1023 步，每加一片翻倍再加一。这是证明过的下界，没有更快的走法。页面顶部「最少」一栏一直显示当前片数的这个数，正好用这么多步搬完就标为完美。

汉诺塔和河内塔是一回事吗？

是同一个游戏。英文名 Tower of Hanoi，Hanoi 是越南首都河内，音译成汉诺塔、意译成河内塔；跟着传说走还有梵天塔、婆罗门塔的叫法。规则完全一样：三根柱、一次一片、大不压小。搜「汉诺塔问题」出来的编程题也是同一件事。

10 片要走 1023 步，有没有不用动脑的走法？

有，而且必定最少步。把最小那片固定按一个方向绕圈搬：奇数片按左柱到右柱、右柱到中柱、中柱到左柱循环，偶数片反过来。每搬完一次最小盘，盘面上不动最小盘的合法搬法有且只有一种，照做即可。两种步子交替，走满 2 的 n 次方减 1 步就搬完。

用了演示解法还算不算纪录？

不算。点演示解法会先把盘面复位，再按递归解一步步播放，速度可在慢、中、快三档之间切，播放中再点一次就停。这一局不写进最快秒数，也不计入局数统计。撤销则不受影响，用多少次都照常记纪录。

手机能玩吗？

能玩。纯网页版，手机浏览器打开就能搬，操作和电脑一样：点一根柱子取起顶端的盘，再点想放的柱子，也可以从一根柱直接拖到另一根。画布下方有左柱、中柱、右柱三个按钮，手指按起来更稳。3 到 10 片、撤销、演示解法、计时与各档最快秒数手机上全都有。

汉诺塔问题的递归解法是什么？

把「n 片从左柱搬到右柱」拆成三步：先把上面 n−1 片借右柱搬到中柱，再把最大那片一步搬到右柱，最后把中柱那 n−1 片借左柱搬到右柱。第一步和第三步都是同一个问题的小一号版本，一直拆到只剩一片直接搬为止。按这个拆法，n 片的步数是 n−1 片的两倍再加一，所以最少步数是 2 的 n 次方减 1。本页的「演示解法」按钮播放的就是这套递归解，慢、中、快三档可切。

历史与冷知识

• 汉诺塔是法国数学家爱德华·卢卡斯在 1883 年推出的玩具。他当时署的是「克劳斯教授」这个笔名——Claus 正好是 Lucas 的字母重排。
• 随玩具附上的传说：印度贝拿勒斯的神庙里有三根金刚石柱，一根插着 64 片金盘，僧侣日夜不停地按规则搬动，等 64 片全部搬完，世界就会终结。
• 这个末日预言算得出来：64 片需要 2 的 64 次方减 1 步，也就是 18,446,744,073,709,551,615 步。一秒搬一片、不吃不睡，也要五千八百多亿年——宇宙至今才一百三十八亿岁。
• 汉诺塔几乎是所有编程课讲递归时的第一个例子，因为解法三行就能写完：搬 n−1 片过去、搬最大那片、再搬 n−1 片回来。
• 把 n 片汉诺塔的所有合法局面画成一张图（局面为点、一步合法搬动连一条线），形状正好是谢尔宾斯基三角形，最优解就是图上两角之间的最短路径。
• 每一步该搬哪片有闭式答案：第 k 步搬动的盘号，等于 k 的二进制表示里末尾 0 的个数加一，所以最小那片总在单数步上搬。
• 柱子加到四根之后问题至今没完全解决：1941 年提出的 Frame–Stewart 算法给出四柱最优步数的猜想，直到 2014 年才被证明确实最优，柱子再多仍是开放问题。本站只做经典三柱版本。
• 神经心理学里的「伦敦塔」测试就是从汉诺塔改造来的，用来评估计划能力——19 世纪的木头玩具，后来成了临床量表。